Optimal bet size - storleken på det perfekta spelet

Vad är storleken på det perfekta spelet? Det beror lite på vad för typ av spelare du är. Om du är ute efter spänning och riktigt höga vinster, by all means kör på niolingar och hoppas på det bästa!

Men här tänker jag förutsätta att ditt mål är att gå stadigt och stabilt uppåt - strunt samma om grafen blir tråkig, det viktiga här är inte att maximera vinsten utan att minimera risken.

Anledningen är enkel: i längden kommer du att gå plus om du är en vinnande spelare och hanterar dina spelpengar vettigt, men det finns mängder av potentiellt vinnande spelare som fått lägga ned för att de kunnat sport och odds men inte money management och följaktligen blivit av med kassan.

Sedan kan förstås variansen vara bedräglig ändå - så oavsett hur du spelar går det t.ex. aldrig att säkert räkna med att kunna investera eller ta ut en viss summa varje månad. Men genom att göra effekterna av variansen så låga som möjligt kan vi komma så nära som det bara går.

Vänta, vad menar du?

Egentligen är det enklast att visa på varför två extremer inte är önskvärda. Vi antar här att du är vinnande i längden.

1. Alla dina spel läggs till 1000 gånger pengarna.
2. Alla dina spel läggs till 1.01 gånger pengarna.

I det första scenariot, hur mycket kan du satsa per spel för att vara hyfsat säker att inte gå bankgrupt om du skulle råka förlora några hundra spel i rad? (Vilket är väldigt troligt.)

I det andra scenariot, vad händer med din spelkassa den dag oturen slår till och du torskar tre spel på raken?

Vi kan alltså enkelt se att varken jättehöga och jättelåga odds är önskvärda. Vad händer om vi halverar till 500x och ökar till 1.02x pengarna? I så fall är exemplen fortfarande oerhört löjliga, och samma logik gäller.

Hur mycket vi än flyttar på de där gränserna kommer vi alltid att riskera dels den obehagliga överraskningen när en oväntad förlust slår till, och dels att den oväntade vinsten aldrig inträffar.

Så rent logiskt - var möts de två? Svaret är vid 2.00 gånger pengarna. Genom att lägga dina spel i den trakten minimerar du risken för att variansen ska komma och köra upp en hockeyklubba i röven på dig.

Simulering av 10 000 spel

Jag gjorde några enkla simuleringar och ritade upp dem grafiskt. En av dem kör med höga odds, en med 2.00, och en med låga odds. Varje spel är på 1 unit, varken spelaren eller bookmakern har någon fördel (dvs spelaren kommer att gå +/- 0 i längden), och simuleringen sträcker sig över 10 000 spel. Så här ser det ut:

Nu råkade även oddsen runt 2.00 sluta på högst vinst men det är helt slumpmässigt, hade lika gärna kunnat gå tvärtom. :) Poängen är att titta på kurvornas utveckling. Tål din bankroll ett sådant gigantiskt jättehopp som både den gröna och den blå linjen gör? Och även om den gör det, är det önskvärt? Klarar ditt psyke det?

Jag tycker i varje fall inte att det är det - önskvärt, alltså - och föredrar därför odds runt ca 2.00 ± 0.25 för majoriteten av mina spel.

Observera dock att detta absolut inte är hugget i sten. Ett bra odds är ett bra odds oavsett om det är på 1.20 eller 14.50, och på vissa marknader kanske det inte ens är realistiskt att bara leta "lagom" stora odds - våra travrekare t.ex. skulle antagligen inte lägga särskilt många spel då.

Men det gäller att ha insikt om vilka fördelar, nackdelar och begränsningar de odds du väljer att spela på har. Och då är nog inget begrepp mer centralt att förstå än variansen.

Vad är storleken på det perfekta spelet? Nej, du lider inte av déjà vu! Vi ställer oss exakt samma fråga igen, men det är en tudelad fråga och ovan gick vi bara igenom hur stort oddset bör vara när du funderar på bet sizing. Vi fortsätter utforska ämnet genom att även kolla på satsningsstorlek relativt din spelkassa - alltså hur mycket du ska satsa.

Det finns egentligen inget perfekt svar på frågan, eftersom alla spelar av olika skäl, och har olika mål. Men att fundera på frågan är ett bra sätt att förstå vikten av riskminimering - och spelar du för att maximera din långsiktiga vinst med så låg risk som möjligt, då finns det faktiskt en optimal metod.

Vad behöver vi för att kunna räkna?

Vi börjar med ett enkelt experiment. I grunden finns det tre variabler som är relevanta för oss:

1. Storleken på din spelkassa
2. Oddset för det du vill spela på
3. Chansen för att spelet ska gå in

För enkelhets skull kan vi låtsas att punkt 2 och 3 exakt motsvarar varandra, alltså att varken du eller bookmakern har någon fördel - ett nollsummespel. (I praktiken räknar jag förstås alltid bara på vinst. Om du känner att du behöver räkna på hur mycket bookmakern kommer att tjäna på dig rekommenderar jag att byta hobby och börja knyppla eller nåt i stället.)

Punkt 1 kan vi också göra irrelevant genom att tala i termer av procent av spelkassan. På så sätt är svaret detsamma oavsett om det finns 3000 kr eller 300 000 kr i kassan.

Hur vill du INTE göra?

Kvar är då endast, för vårt hypotetiska tankeexperiments skull, oddset på spelet. Jag gillar att dra löjligt överdrivna exempel för att göra poängen tydligare, så let's say att vi satsar 20 % av vår spelkassa per spel.

Om varje spel har 3.00 i odds, hur många gånger kommer du att ha råd med att förlora innan du är så djupt nere i hålet att det är orealistiskt att hitta upp igen givet samma system?

Om varje spel har 1.10 i odds, hur länge klarar du dig då?

Svaret är att mot 3x pengarna är du rökt korv redan på förhand, och det borde vara rätt uppenbart. (Annars - knyppling.) Vad som är mindre uppenbart är kanske att även 1.1x tillbaka innebär alldeles för stor risk. Det motsvarar knappt 91 % chans (eftersom 1 / 1.1 = 0.9090...), och du behöver inte lägga många hundra spel innan tre-fyra ondsinta nioprocentare sitter.

Riskminimering vs. vinstmaximering

Det finns alltså ett stort värde i att minimera risken, eftersom det värsta som kan hända är att du råkar bli bankrutt. Så hur gör vi det?

Tja, det lättaste sättet är att satsa 0 kr per spel. Inget satsat - ingen risk! Problemet är ju bara att du är garanterad att inte vinna något heller då, och kan därför lika gärna ägna dig åt knyppling.

Dåliga skämt åsido, precis som vanligt i den här inläggsserien handlar det om två motsatser som måste mötas någonstans för att ge ett optimalt svar, och det är det svaret vi är ute efter.

Lösningen

För att komma fram till det här måste vi separera punkt 2 och 3 ovan igen, för det är här din edge mot bookmakern - eller vice versa - kommer fram. Det säger nästan sig självt: ju större fördel du har, desto mer pengar vill du satsa för att uppnå den bästa chansen att utöka din spelkassa på lång sikt. Och här kan vi faktiskt räkna på riktigt.

Den klassiska formeln heter Kellys kriterium efter John Kelly som först lanserade den. Det bästa är att du inte ens behöver förstå den för att använda den!

Vad formeln gör är att räkna ut hur många procent av din spelkassa du optimalt borde satsa, om du vet dels vilket odds du får och dels vilken chans spelet har att gå in. Formeln är enkel, och ser ut så här:

Kellys kriterium: (chans * odds - 1) / (odds - 1) = procentandel du borde satsa

Så om oddset är 2.00 och chansen är 50 % får vi: (0.5 * 2.00 - 1) / (2.00 - 1) = 0

Va? Noll procent? Ja, det stämmer ju - om du varken har något att vinna eller något att förlora, rent statistiskt, då finns det ju ingen mening med att spela!

Men om oddset eller chansen rör på sig, då blir det andra bullar. Vi kan ändra båda, till 1.99 och 51 %, för skojs skull. Då får vi följande: (0.51 * 1.99 - 1) / (1.99 - 1) = 0.015

Alltså 1.5 % av din spelkassa - inte alls en orealistisk summa.

Viktiga problem att känna till

Kruxet här blir förstås att veta exakt vilken chans utfallet i t.ex. en fotbollsmatch har. Tippar du några punkter fel här kan det ganska fort ge ganska advers påverkan - det stämmer ju oavsett om du kör med en väldigt statistisk approach eller mer enligt metoden "magen säger bu men hjärtat säger bä".

Följaktligen är det vanligt att räkna med Kellykriteriet för att sedan satsa en procentandel av vad formeln kommer fram till - både livrem och hängslen, alltså. Och det är en mycket god idé!

Ett annat problem är att formeln blir mindre pålitlig i fall du först lägger ett spel på något och sedan följer upp med att lägga ett till spel på samma (i fall t.ex. oddset flyttat sig åt rätt håll). Eller snarare: formeln är lika pålitlig men effekterna av att använda den utgör en större risk of ruin, som det heter, ändå.

Jag skulle också varmt rekommendera att aldrig satsa mer än en bestämd procentandel ändå, inte bara för att det finns så många saker som kan ha gått fel på vägen när du räknat - utan även för att formler av den här typen behandlar sannolikhet som något som sker ett oändligt antal gånger, medan matcher i praktiken givetvis bara spelas en gång.

Lite bonusmatematik

Du som hatar matte kan med fördel sluta läsa här. :)

Det finns många bevis för att kriteriet funkar, och Kellys egen artikel är ganska lätt att hänga med i.

Vad Kelly kommer fram till är i princip samma sak som att den bet size som optimerar det geometriska medelvärdet av alla utfall även optimerar väntevärdet. Eftersom det vi vill göra är att hitta den bästa förändringsgraden ger det ett maximeringsproblem med få variabler som kan lösas t.ex. symboliskt.

Vi kan också räkna på derivator om vi byter till logaritmen av spelkassan. I så fall behöver vi veta hur väntevärdet (EV), dvs snittutfallet, för ett bet räknas ut. Sedan tar vi derivatan, och kan vi räkna ut vad väntevärdet blir när derivatan är noll för att få fram det högsta väntevärdet.

Givet en bankroll x, en sannolikhet p och ett vinst b = odds - 1 för ett utfall:

Det är för tråkigt att gå igenom alla stegen, men sätter vi att derivatan = 0 för formeln ovan och löser ekvationen landar vi i exakt samma formel som i Kellys kriterium. Följaktligen maximerar den det matematiska väntevärdet.

För en lite längre sammanfattning utan alltför mycket matte rekommenderar jag Good and bad Properties of the Kelly Criterion (MacLean, Thorp & Ziemba, 2010). Thorp är lite grann en guru på området, och kom in på det via vektormatematik precis som Kelly medan denne fortfarande levde.

För en grundlig men basic genomgång av hur beslutsteori påverkar Kellys kriterium är det egentligen fortfarande Theory of Games and Economic Behavior av von Neumann & Morgenstern som gäller, trots att den först publicerades under andra världskriget. :)